lunes, 13 de julio de 2015

SEGUNDA PARTE ALGEBRA

1.9   Propiedades de las operaciones.



Suma
Conmutativa : si cambiamos el orden de los sumandos la suma no varia:
4 + 3+ 2 = 9
2 +4 + 3 = 9
Asociativa : si efectuamos sumas parciales la suma no varía:
(2 + 1) + (3 + 5) = 11
Cero elemento neutro:
12 + 0 = 12
Sucesión fundamental : se obtiene el siguiente número
8 + 1 = 9



Resta
No es conmutativa: si cambiamos el orden del minuendo y el sustraendo, la resta varia
5 - 2 = 3
2 - 5 = - 3
No es asociativa

Cero elemento neutro:
8 - 0 = 8
Sucesión fundamental: se obtiene el número anterior
8 - 1 = 7
Multiplicación
Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
2 x 3 = 6
3 x 2 = 6
Asociativa: sí sustituimos dos o más factores por su producto, el producto final no varía.
( 2 x 3 ) x 4 = 24
2 x ( 4 x 3 ) = 24
Propiedad distributiva : Para multiplicar una suma algebraica por un número natural se multiplica cada sumando por dicho número natural y luego se suman los productos parciales.
(3 + 4 ) . ( 2 + 4 ) =
( 3.2 )+ (3.4) +( 4.2) +(4.4) =
6+ 12 + 8+ 16 = 42


División
No es conmutativa
6 : 2 = 3
2 : 6 = 0,333
No es asociativa
( 8 : 4) : 2 = 1
8: ( 4 : 2 ) = 4
Propiedad distributiva: para dividir una suma algebraica por un número natural
se divide cada sumando por dicho número natural y luego se suman los cocientes parciales
( 4 + 8) : 2 =
(4 : 2) +( 8 : 2)
   2 + 4 = 6
No se puede: 2 : ( 4 + 8 ) =
(2 : 4) +( 2 : 8)

0,5 + 0,25 = 0,75
.
Decimales periódicos y racionales.

"decimales periodicos"
Un número decimal periódico es un numero racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expancion decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:
\cfrac{1}{3} = 0,\boldsymbol{3}\,333\dots \; ; \quad \cfrac{1}{7} = 0,\boldsymbol{142857}\,142857\dots
El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

\cfrac{2}{3} = 0, \overset{\frown}{6} \; ; \quad \cfrac{12}{11} = 1, \overset{\frown}{09}

Tipos de números periódicos
  • Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: 0,999\dots = 0,\bar{9}
  • Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
    • Ejemplo: 1.91222\dots = 1.91 \bar{2}, en donde 91 es el anteperíodo.

 "Decimales racionales"

Número racional es todo numero que puede representarse como el cociente de dos numeros enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo; es decir, una fraccion comun a/b con numerador a  y denominador b  distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien \mathbb{Q}, en negrita pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los numero enteros (\mathbb{Z}), y es un subconjunto de los  numero enteros (\mathbb{R}).
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:
2,5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
Demostración

 Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:
\begin{matrix} \mathbb{Q} \subset \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\ \mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\} \end{matrix}
Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}





() Raíces de reales positivos.






Las raíces de un polinomio son los valores de la variable para los cuales la función polinomial toma el valor de cero. Dicho de otro modo, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación:



f(x) = 0


Donde x es la variable del polinomio y f(x) es la función polinomial. Las raíces de un polinomio pueden ser reales o complejas. En la gráfica de la función polinomial se identifican las raíces reales como las intersecciones con el eje x (aquellos valores en que la función vale cero).

Ejemplo.
Verificar que −4, −1, 2 y 3 son las raíces del polinomio:


Solución.
Evaluando la función polinomial para cada uno de los valores:
f(−4) = (−4)4 - 15(−4)2 + 10(−4) + 24
f(−4) = 256 - 15(16) - 40 + 24
f(−4) = 256 - 240 - 40 + 24
f(−4) = 0

f(−1) = (−1)4 - 15(−1)2 + 10(−1) + 24
f(−1) = 1 - 15(1) - 10 + 24 = 1 - 15 - 10 + 24
f(−1) = 1 - 15 - 10 + 24
f(−1) = 0

f(2) = (2)4 - 15(2)2 + 10(2) + 24
f(2) = 16 - 15(4) + 20 + 24 = 16 - 60 + 20 + 24
f(2) = 16 - 60 + 20 + 24
f(2) = 0

f(3) = (3)4 - 15(3)2 + 10(3) + 24
f(3) = 81 - 15(9) + 30 + 24 = 81 - 135 + 30 + 24
f(3) =81-135+30+24
f(3) = 0

Con lo cual se comprueba que 4, −1, 2 y 3 sí son raíces del polinomio.

Si se grafica la función polinomial:



Exponentes racionales.

Las raíces cuadradas se escriben comúnmente usando el signo radical, así, . Pero hay otra manera de representar una raíz. Puedes usar exponentes racionales en lugar de un radical. Un exponente racional es un exponente que es una fracción. Por ejemplo,  puede escribirse como .

¿No puedes imaginarte elevando un número a un exponente racional? Puede ser difícil acostumbrarse a ellos, pero los exponentes racionales pueden ayudar a simplificar algunos problemas. Exploremos la relación entre los exponentes racionales (fraccionales) y los radicales.

Los radicales y los exponentes fraccionales son maneras alternativas de expresar lo mismo. Ya has visto cómo las raíces cuadradas pueden expresarse como un exponente a la potencia de un medio.

Forma Radical
Forma Exponencial
Entero
4
5
10

Veamos otros ejemplos, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerda, elevar al cubo un número es tener una potencia de tres. Observa que en estos ejemplos el denominador del exponente racional es el número 3.

Forma Radical
Forma Exponencial
Entero
2
5
10

Estos ejemplos nos ayudan a modelar la relación entre radicales y exponentes racionales: a saber que la n-ésima raíz de un número puede escribirse como  o .

Forma Radical
Forma Exponencial
…
…

Cuando nos encontramos con una expresión que contiene un exponente racional, puedes reescribirla usando un radical. En el ejemplo anterior, observa cómo el denominador del exponente racional determina el índice de la raíz. Entonces, un exponente de  se traduce a una raíz cuadrada, un exponente de  se traduce en una raíz quinta o  y  se traduce en una raíz octava .


Ejemplo
Problema
Escribir  como una expresión con un exponente racional.

La forma radical  puede reescribirse como el exponente . Elimina el radical y coloca el exponente junto a la base.
Respuesta



Ejemplo
Problema
Expresar  en forma radical.

Reescribe la expresión con el exponente fraccional como un radical. El denominador de la fracción determina la raíz, en este caso la raíz cúbica.

Los paréntesis en  indican que el exponente se refiere a todo lo que está dentro de ellos.
Respuesta



Recuerda que los exponentes sólo se refieren a la cantidad inmediatamente a la izquierda a menos que haya un símbolo de agrupación. El ejemplo siguiente se ve muy similar al ejemplo anterior con una diferencia importante — !no hay paréntesis! Veamos lo que pasa.


Ejemplo
Problema
Expresar  en forma radical.

Reescribe la expresión con el exponente fraccional como un radical El denominador de la fracción determina la raíz, en este caso la raíz cúbica.

El exponente se sólo se refiere a la parte de la expresión inmediatamente a la izquierda del exponente, en este caso x, pero no el 2.
Respuesta



Reescribiendo expresiones con exponentes racionales usando radicales

Así como puedes reescribir una expresión con un exponente racional como una expresión radical, puedes expresar una expresión radical usando un exponente racional.


Ejemplo
Problema
Expresar  con exponentes racionales.

Reescribe el radical usando un exponente racional. La raíz determina la fracción. En este caso, el índice del radical es 3, por lo que el exponente será .

Como el 4 está afuera del radical, no está incluido en el símbolo de agrupación y el exponente no se refiere a él.
Respuesta



Ejemplo
Problema
Simplificar. 

Reescribe la expresión con el exponente fraccional como un radical.




6 • x2
Encuentra la raíz cuadrada de ambos coeficientes y de la variable.
Respuesta



Exponentes racionales con numeradores distintos de uno

Todos los numeradores para los exponentes racionales en los ejemplos anteriores han sido 1. Puedes usar exponentes fraccionales que tengan numeradores distintos de 1 para expresar raíces, como se muestra a continuación. ¿Notas los patrones en esta tabla?

Radical
Exponente
…
…

Para reescribir un radical usando exponentes fraccionales, la potencia a la que el radicando se eleva se vuelve el numerador y la raíz se vuelve el denominador.

Escribiendo exponentes fraccionales

Cualquier radical en la forma  puede escribirse usando un exponente fraccional en la forma .


La relación entre  y  también funciona para exponentes racionales que tienen un numerador de 1. Por ejemplo, el radical  también se puede escribir como , porque cualquier número conserva su valor si está elevado a la primera potencia. Ahora puedes ver de dónde viene el numerador de 1 de la forma equivalente de .

Simplificando expresiones radicales usando exponentes racionales y las reglas de los exponentes

Exploremos algunas expresiones radicales para ver cómo simplificarlas. Aquí hay una expresión radical que necesita ser simplificada, .

Un método para simplificar esta expresión es factorizar y sacar grupos de a3, como se muestra en el siguiente ejemplo.


Ejemplo
Problema
Simplificar. 



Reescribe factorizando los cubos.


Escribe cada factor con su propio radical y simplifica.
Respuesta



También puedes simplificar esta expresión pensando en el radical como una expresión con un exponente racional y usando el principio de que cualquier radical en la forma  puede escribirse como un exponente fraccional en la forma .


Ejemplo
Problema
Simplificar. 


Reescribe el radical usando un exponente racional.

Simplifica el exponente.
Respuesta



Observa que los exponentes racionales están sujetos a las mismas reglas que otros exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.

Ambos métodos de simplificación nos dieron el mismo resultado, a2. Dependiendo del contexto del problema, podría ser más fácil usar un método que el otro, pero por ahora, notarás que pudiste simplificar esta expresión más rápido usando exponentes racionales que usando el método de “sacar”.

Intentemos otro ejemplo.


Ejemplo
Problema
Simplificar. 



Reescribe el radical usando exponentes racionales.

Usa las reglas de los exponentes para simplificar la expresión.






Cambia la expresión con el exponente racional de vuelta a su forma radical.
Respuesta



De nuevo, el método alternativo consiste en simplificar dentro del radical usando factorización. Para el ejemplo que ya resolviste, se ve así.


Ejemplo
Problema
Simplificar. 


Reescribe la expresión.

Factoriza cada radicando.


Simplifica.
Respuesta



¿Cuál de las expresiones siguientes es igual a la expresión  cuando se escribe usando un exponente racional?

A) 

B) 

C) 

D) 





Intentemos con una expresión más complicada, . Esta expresión tiene dos variables, una fracción y un radical. Vayamos paso a paso para ver si usando exponentes fraccionales nos pueden ayudar a simplificarla.

Empecemos con simplificar el denominador, porque es ahí donde está el signo radical.


Ejemplo
Problema
Simplificar. 



Separa los factores en el denominador.

Obtén la raíz cúbica de 8, que es 2.

Reescribe el radical usando un exponente fraccional.

Reescribe la fracción como una serie de factores para cancelar factores (ve el siguiente paso).

Simplifica la constante y los factores c.

Usa la regla de los exponentes negativos,
n-x=, para reescribir  como .

Combina los factores b sumando los exponentes.

Cambia la expresión con el exponente fraccional de vuelta a forma radical. Por convención, una expresión no se considera simplificada si tiene un exponente fraccional o un radical en el denominador.
Respuesta




Bueno, esto tomó bastante tiempo, pero lo lograste. Aplicaste lo que sabías sobre exponentes racionales, exponentes negativos y otras reglas de los exponentes para simplificar la expresión.


Valor absoluto.

La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
Valor absoluto
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo. 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|.
También se puede entender al valor absoluto como la distancia que existe entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor absoluto de su diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor absoluto de |3|. 

Lee todo en: Definición de valor absoluto - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/valor-absoluto/#ixzz3fpQ8TUmN


Aproximación.





POLINOMIOS Y ECUACIONES.


Definiciones.



1.1. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una expresión de la forma:

( )

1 2 2

1 2 2 1 0

n n n P x a x a x a x a x a x a n n n
− − = + + + ⋅⋅⋅+ + + − − (1)
Los números 1 2 3 , , ,...,
n
a a a a , se denominan coeficientes del polinomio y son valores
reales.
La letra x se denomina variable.
Los exponentes de la variable tienen que ser números enteros.
Los términos de la forma
p
a xi se denominan monotérminos.
El número n
a se denomina coeficiente principal.
El número 0
a se denomina término independiente.
1.1.1Grado de un Polinomio: Si 0 n
a ≠ se dice que el polinomio tiene grado n . Es
decir, el grado del polinomio viene dado por el mayor exponente o mayor grado
de la variable.
Ejemplos:
a) 2
3 4 2 − +x x es de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2.
b) 3 2 5 4 3 1 x x x − + − es de tercer grado porque el mayor exponente de x es 3.
1.1.2Clases de Polinomios: De acuerdo a la forma de los polinomios, éstos pueden
tener diferentes nombres.
a) Polinomio Nulo: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos.
b) Polinomio Constante: Es el que tiene todos sus coeficientes nulos menos el término
independiente. Es decir, se obtiene para 0 i
a = con 1≤ ≤i n y 0
a ≠ 0 , quedando la
expresión (1) como: P x a ( ) = 0 .
c) Polinomio Lineal: Es un polinomio de primer grado que se obtiene para 0 i
a = con
2 ≤ ≤i n , quedando la expresión (1) como: P x a x a ( )= + 1 0 . El valor de 0
a puede ser cero
o distinto de cero.
d) Polinomio Cuadrático: Es un polinomio de segundo grado que se obtiene para 0 i
a =
con 3 ≤ ≤i n y 2
a ≠ 0 , quedando la expresión (1) como: ( )
2 P x a x a x a = + + 2 1 0 . Los
valores de 1
a y 0
a pueden ser cero o distinto de cero. 
Ejercicios de Cálculo 10 Prof. María D. Ferrer G.
2
e) Monomio: Es el polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos menos uno de ellos
Ejemplos: 3
5x ; 3x ;
3 2
2
− x ;
1 2 3
2
− a x ; etc
Un monomio está compuesto del signo, coeficiente, letras y exponentes.
Si tenemos
1 2 3
2
− a x , entonces el signo es negativo, el coeficiente es
1
2
, las letras son
a y x y, los exponentes son 2 y 3 .
Dos monomios son iguales cuando tienen el mismo signo, el mismo coeficiente y las
mismas letras elevadas a los mismos exponentes.
Dos monomios son diferentes cuando difieren por lo menos, en alguna de sus
componentes.
Dos monomios son semejantes cuando su parte literal con sus exponentes son iguales, y
en lo único que difieren es en el signo y en el coeficiente. 

Los Polinomios como funciones.

Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es R , es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado

f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.

Funciones cuadráticas

f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.

Funciones racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
Función racional
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.


Operaciones.

SUMA
Suma de polinomios.Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. 
Por ejemplo, consideremos los polinomiosP(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5 + 10x3 - 2x2 - x + 2Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:2x3 + 8x3 = 10x3-5x2 + 3x2 = -2x36 - 4 = 2

 RESTA

 Resta de polinomios.
Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal. 

 Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x5 + 2x3 - 5x2 + 6 y Q(x) = 8x3 + 3x2 - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5 - 6 x3 - 8x2 + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x3 - 8x3 = -6x3
-5x2 - 3x2 = -8x3

6 - (-4) = 10

 PRODUCTO

 Producto de polinomios.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer polinomio por cada polinomio del segundo. Luego sumamos aquellos monomios con la misma parte literal. 

 REGLA DE RUFFINI

 La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x3 + x2 - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue: 
1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

 2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

 3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

 4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

Resto = 5 y C(x)=2x2 + 3x por tanto 2x3 + x2 - 3x + 5 =(x-1) (2x2 + 3x) +5

 TEOREMA DEL RESTO
Evaluar un polinomio 
Evaluar un polinomio consiste en determinar qué valor toma el polinomio cuando la indeterminada (x) se sustituye por un número. 
Consideramos el polinomio P(x)=2x3-5x+3 evaluar el polinomio en 1 consiste en sustituir la indeterminada por 1 (x=1) quedando P(1)=2·13-5·1+3=2-5+3=0.

 Teorema del resto
El valor que se obtiene al evaluar un polinomio en x=a coincide con el resto de dividir ese polinomio por x-a. 
Si dividimos un polinomio P(x) por x-a se obtendrá un cociente C(x) y un resto r. 
En toda división el dividendo P(x) es igual al divisor x-a por el cociente C(x) más el resto r , es decir, P(x)=(x-a)·C(x) + r.
Al evaluar el polinomio en el punto se tiene 
P(a)=(a-a)·C(a) + r , como a-a =0 entonces P(a) = r 
Gracias a este teorema podemos usar la regla de Ruffini para evaluar un polinomio en un punto.

 Evalúa el polinomio P(x)=2x3-5x+3 en x=1 usando la regla de Ruffini 
P(1) = 0 ya que 0 es el resto de la división de P(x) entre x-a

 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO

 Raíz de un polinomio 
Diremos que un número x=a es raíz de un polinomio P(x) si al evaluar P en a se anula, es decir, P(a)=0 .
Un polinomio es divisible por otro si al realizar la división el resto es 0.
Por tanto, si a es raíz de un polinomio P(x), teniendo en cuenta el teorema del resto, podemos afirmar que P(x) es divisible por x-a.
Si a es una raíz de un polinomio entonces a divide al término independiente.
Dado P(x) = cnxn + cn-1xn-1 +...+ c1x + c0 y sea a una raíz de P 
P(a) = cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 , al sea a una raíz, P(a) = 0
cnan + cn-1an-1 +...+ c1a + c0 = 0 pasamos el término independiente al segundo miembro y sacamos factor común a a, queda a·( cnan-1 + cn-1an-2 +...+ c1 ) = - c0 de aquí se deduce que la raíz es divisor del término independiente.

 Esto nos permite buscar las raíces entre los divisores del término independiente
Factorizar un polinomio
Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible.
Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si a es una raíz de P(x), entonces P(x)=(x-a)·P1(x), así hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible. 
Factoriza el polinomio P(x)=2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x2 +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda: 

2x5 -3x3 +4x2 -9x + 6 =(x-1)2(x+2)(2x2 +3)

El algoritmo de la división.


Cómo enseñar el algoritmo de la división

En esta lección estableceremos una manera efectiva de enseñar el algoritmo de la división, es decir describiremos los procedimientos que deben ser ejecutados para resolver la división entre dos números. En lugar de suministrar la secuencia completa de instrucciones de una sola vez, explicaremos el algoritmo de la división POR ETAPAS, con el objetivo de que el estudiante se familiarice de manera gradual con los diferentes pasos.
Antes de que el niño empiece el estudio de la división necesitará tener claros los siguientes conceptos:
  • las tablas de multiplicar (por lo menos bastante bien)
  • divisiones simples que se basan en las tablas de multiplicar
    (por ejemplo 28 ÷ 7 o 56 ÷ 8)
  • divisiones simples con resto (por ejemplo 54 ÷ 7 or 23 ÷ 5)

Una razón por la cual el algoritmo de la división resulta difícil

El Algoritmo de la división es un algoritmo que repite los pasos básicos de
1) Dividir; 2) Multiplicar; 3) Restar; 4) Bajar la cifra siguiente.
De estos pasos, #2 y #3 pueden resultar difíciles y confusos para los estudiantes porque parece que no tienen nada que ver con la división—tienen que ver con cómo hallar el resto. De hecho, para señalar esto, me gusta combinar esos dos pasos en un único paso de "multiplicar & restar".
Para facilitar el proceso de aprendizaje del algoritmo y evitar confusión, recomiendo proceder por etapas, considerando inicialmente los casos más sencillos e intuitivos de la división, que no implican el uso de todos los pasos arriba mencionados. Luego, una vez que el estudiante domine con soltura estas primeras divisiones, pasar a divisiones más generales, que involucren todos los pasos del algoritmo.
  • Etapa 1: La división es exacta en todas las cifras. Aquí, los estudiantes solo practican cómo dividir.
  • Etapa 2: Hay un resto en las unidades. Ahora, los estudiantes practican la parte de "multiplicar & restar" y la conectan con el resto.
  • Etapa 3: Un resto en las decenas. Los estudiantes ahora usan el algoritmo entero, incluyendo "bajando la cifra siguiente", usando dividendos de 2 cifras.
  • Etapa 4: Un resto en cualquier de los valores posicionales. Los estudiantes practican el algoritmo entero usando dividendos largos.



  1. Acostumbrarlos a la pregunta, "¿Cuántas veces cabe el divisor en las cifras del dividendo?"
A continuación se dan algunos ejemplos de como escribir una división según el estilo de Norteamérica. Los estudiantes deberían verificar cada división exacta multiplicando el divisor por el cociente.
a.
4 
) 
8 4 
b.
3 
) 
6 6 0 
c.
4 
) 
8 0 4 0 

En España y America del Sur las divisiones se escriben así:

a.
8 4 | 4 
b.
6 6 0 | 3 
c.
8 0 4 0 | 4 


También en esta etapa, los estudiantes aprenden a mirar (considerar) las primeras dos cifras del dividendo, si el divisor "no cabe" en la primera cifra:

c  d   u
0 
4 
) 
2 4 8 
o
c  d   u
2 4 8 | 4

 0
c  d   u
0 6 2
4 
) 
2 4 8 
o
c  d   u
2 4 8 | 4     

 0 6 2
4 no cabe en 2. Puedes poner un cero en el cociente en el lugar de las centenas, o no hacerlo. Pero 4 sí cabe en 24, seis veces. Escribe 6 en el cociente.
Explicación:
El 2 de 248 es por supuesto 200 en realidad. Si dividieras 200 por 4, el resultado sería menos de 100, pues es por eso que el cociente no tiene centenas.
Entonces, combinas las 2 centenas con las 4 decenas. Eso hace 24 decenas, y PUEDES dividir 24 decenas por 4. El resultado 6 decenas se escribe como parte del cociente.
Comprueba la respuesta final: 4 × 62 = 248.
A continuación más ejemplos de ejercicios de divisiones exactas. Realiza las divisiones. Comprueba tu respuesta multiplicando el cociente por el divisor.
Las divisiones están expresadas en la forma que se acostumbra en Norteamérica, y no utilizando la notación que se adopta en Sudamérica y España. Pero, independientemente de la notación, las ideas de esta lección son las mismas. Puedes escribir los problemas de la manera que más te guste.

a.
3 
) 
1 2 3 
b.
4 
) 
2 8 4 
c.
6 
) 
3 6 0 
d.
8 
) 
2 4 8 

Etapa 2: Un resto en las unidades

Ahora hay un resto en las unidades. Las cifras de los millares, centenas y decenas todavía se dividen exactamente por el divisor. Inicialmente, los estudiantes pueden resolver el resto mentalmente y simplemente escribir el resto después el cociente:



 c  d   u


 0 4 1 R1
4 
) 
 1 6 5 
4 no cabe en 1 (centena). Pues combina la centena con las 6 decenas (16 decenas).
4 cabe en 16 cuatro veces.
4 cabe en 5 una vez, dejando un resto de 1.


 m  c  d   u


 0 4 0 0 R7
8 
) 
 3 2 0 7 
8 no cabe en 3 de los millares. Pues combina los 3 millares con las 2 centenas (3,200).
8 cabe en 32 cuatro veces
(3,200 ÷ 8 = 400)
8 cabe en 0 cero veces (decenas).
8 cabe en 7 cero veces, dejando un resto de 7.
Sucesivamente, los estudiantes aprenden a hallar el resto usando el proceso de "multiplicar & restar". ¡Es un paso muy importante! La parte de "multiplicar & restar" a menudo es muy difícil para los estudiantes, por eso la practicamos en el lugar más fácil posible: en la última parte de la división, en la columna de las unidades (en lugar de la columna de las decenas o centenas). Por supuesto, esto supone que los estudiantes ya hayan aprendido a hallar el resto en divisiones simples basadas en las tablas de multiplicar (tales como 45 ÷ 7 o 18 ÷ 5).

En los problemas anteriores, sólo escribiste el resto de las unidades. Usualmente se escribe la resta que nos da el resto. Fíjate:


 c  d   u


 0 6 1
4 
) 
 2 4 7

− 4
    3
Al dividir las unidades, 4 cabe en 7 una vez. Multiplica 1 × 4 = 4, escribe el cuatro debajo del 7, y resta. Esto nos da el resto: 3.
Verifica: 4 × 61 + 3 = 247


 m  c  d   u


 0 4 0 2
4 
) 
 1 6 0 9
− 8
    1
Al dividir las unidades, 4 cabe en 9 dos veces. Multiplica 2 × 4 = 8, escribe el ocho debajo del 9, y resta. Esto nos da el resto: 1.
Verifica: 4 × 402 + 1 = 1,609
A continuación proponemos más divisiones del mismo tipo. Ahora los estudiantes comprueban la respuesta multiplicando el divisor por el cociente, y luego sumando a este resultado el resto.


a.
3 
) 
1 2 8 
b.
3 
) 
9 5 




c.
6 
) 
4 2 6 7 
d.
4 
) 
2 8 4 5 



Etapa 3: un resto en las decenas

En esta etapa, los estudiantes practican por primera vez todos los pasos básicos del algoritmo de la división: divide, multiplica & resta, baja la cifra siguiente. Usamos números de dos cifras para hacerlo simple. "Multiplicar & restar" tiene que ver con el resto, y después de hallar el resto, lo combinamos con la siguiente cifra del dividendo, es decir con la unidad (hacemos esto "bajando la cifra"). El número que resulta si divide después por el divisor.

Un ejemplo:
1. Divide.2. Multiplica & resta.3. baja la cifra siguiente.


d  u


2  
2 
)
5 8 


Dos cabe en 5 dos veces, o 5 decenas ÷ 2 = 2 decenas -- pero hay un resto!


d  u


2  
2 
)
5 8 

- 4


1
Para hallarlo, multiplica 2 × 2 = 4, escribe el 4 debajo del cinco, y resta para hallar el resto de 1 decena.


d   u


2 9
2 
)
5 8 

- 4 ↓


1 8
Luego, baja el 8 de las unidades al lado de la decena restante (al lado de 1). Combinas la decena restante con las 8 unidades, y consigues 18.

1. Divide.2. Multiplica & resta.3. baja la cifra siguiente.


d   u


2 9
2 
)
5 8 

- 4


1 8


Divide 18 por 2. Coloca 9 en el cociente.


d   u


2 9
2 
)
5 8 

- 4


1 8

- 1 8


0 
Multiplica 9 × 2 = 18, escribe el 18 debajo del 18, y resta.


d   u


2 9
2 
)
5 8 

- 4


1 8

- 1 8


0
La división ya está terminada porque no quedan más cifras en el dividendo. El cociente es 29.


Etapa 4: un resto en cualquiera de los valores posicionales

Una vez que los estudiantes dominen la etapa anterior, podrán empezar a practicar el algoritmo de la división con números de 3 o 4 cifras. Necesitan completar los pasos básicos varias veces.

1. Divide.2. Multiplica & resta.3. baja la cifra siguiente.


d  u


1  
2 
)
2 7 8 

Dos cabe en 2 una vez, o 2 centenas ÷ 2 = 1 centena.


d  u


1  
2 
)
2 7 8 

- 2


0
Multiplica 1 × 2 = 2, escribe el 2 debajo del dos, y resta para hallar el resto de cero.


d   u


1 8
2 
)
2 7 8 

- 2 ↓


0 7
Siguiente, baja el 7 de las decenas al lado del cero.
Divide.Multiplica & resta.Baja la cifra siguiente.


d   u


1 3
2 
)
2 7 8 

- 2


0 7

Divide 7 por 2 (¿Cuántas veces cabe el 2 en el 7?). Coloca 3 en el cociente.


d   u


1 3
2 
)
2 7 8 

- 2


0 7

-    6


1   
Multiplica 3 × 2 = 6, escribe el 6 debajo del 7, y resta para hallar el resto de 1 decena.


d   u


1 3
2 
)
2 7 8 

- 2


0 7

-    6


1 8
Luego, baja el 8 de las unidades al lado de la decena restante (al lado de 1).
1. Divide.2. Multiplica & resta.3. baja la siguiente cifra.


d   u


1 3 9
2 
)
2 7 8 

- 2


0 7

-    6


1 8

Divide 18 por 2. Coloca 9 en el cociente.


t   o


1 3 9
2 
)
2 7 8 

- 2


0 7

-    6


1 8
 - 1 8
0
Multiplica 9 × 2 = 18, escribe el 18 debajo del 18, y resta para hallar el resto de cero.


d   u


1 3 9
2 
)
2 7 8 

- 2


0 7

-    6


1 8
 - 1 8
0
No hay más cifras para bajar. El cociente es 139.


Raíces de polinomios.



Ecuaciones de segundo grado.

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:
ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
fórmula

Ejemplos
1. ecuaciçon
solución
2. ecuación
solución
3. ecuación
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
solución
ecuación
solución

ecuaciones de segundo grado da click aqui


Factorización de polinomios.


Raíces Múltiples.


Uno de los inconvenientes que presenta el método de Newton es cuando la derivada de la función tiende a cero al ser evaluada en x y por ende la convergencia disminuye o incluso se suspende si se alcanza una división por cero. Similarmente sucedería con el método de la secante si la función es muy plana y f(x) y f(x-1) son aproximadamente iguales. Con el fin de darle solución a este inconveniente se crearon estos métodos.



Métodos para determinar raíces múltiples


Hay dos formas desarrolladas para determinar raíces múltiples. Estos métodos no son más que modificaciones del método de newton y a continuación se presentaran estos.
El primero de ellos añade un factor a la formula normal del método de newton con el fin de retornar  la convergencia de este, simplemente añade la multiplicidad de la raíz como una constante al segundo término de la formula.


El segundo crea una función auxiliar u(x)=f(x)/f'(x), así xn+1 =xn-(u(x)/u'(x)) reemplazando en términos de f(x) se obtiene :

Derivadas  y multiplicidad.

Multiplicidad De Las Raíces
Para poder precisar los resultados anteriores, necesitamos introducir la
nocion de multiplicidad de una raiz. Para motivar en este concepto recordemos
que en el caso de las ecuaciones cuadraticas:

P= aX2 + bX + c = 0
Las dos raíces a1, a2 que proporciona la formula para resolver ecuaciones de
segundo grado coinciden cuando el discriminante /\ = b2 – 4 ac de la ecuación se anula, tenemos en este caso:
            -b
a1 = a2  =______
             2a
Y el polinomio  P se factoriza en la forma:

P(X) = a (X – a1)2


para mas informacion dar click aqui

Coeficientes y raíces.


Polinomios con Coeficientes reales.


 La definición de polinomio en sí es sólo en variable real. Un polinomio es la SUMA de los binomios: 
Por ej: P(x)= 3x^5+x-2 

Los coeficientes de los polinomios SON numeros reales(3,1,-2). Otra cosa es que un polinomio se pueda expresar como un producto de las soluciones de dicho polinomio: 
Q(x)=x^2-1========== (x+1)(x-1) 
Y es lo que pasa con los numeros imaginarios o mejor dicho con las soluciones imaginarias de un polinomio. 
Es sólo otra expresión que equivale al polinomio, pero no representa el polinomio como tal. Por ejemplo, dirías que el numero 2 tiene coeficientes imaginarios. NO. Pero se puede expresar como el producto de : 

1*(1+i)(1-i)=2; 
Dirias "coeficiente 1" 
Los coeficientes de un polinomio, por definición("suma de monomios") no pueden ser complejos. Dicho de una forma formal: 
Sea P(x) un polinomio cualquiera: 

P(x)=ax^n+bx^(n-1)+...........+nx^0 

(a,b,......,n) son constantes REALES. 

El algoritmo de Euclides.

Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado.
El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:
1 Se divide el número mayor entre el menor.
2 Si:
1 La división es exacta, el divisor es el m.c.d.
2 La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.
Ejemplo:
División
m.c.d. (72, 16) = 8


Teorema de Sturm.

El teorema de Sturm fue desarrollado por el matemático francés Jacques Charles François Sturm. Es útil para hallar los ceros de una función polinómica en un determinado intervalo. Dice lo siguiente:
A partir de un polinomio dado f(x)\,, supongamos los siguientes polinomios f_1(x),f_2(x),f_3(x),...,f_r(x)\,\! cumpliendo lo siguiente:
f_1(x)=f'(x)\,\!
f(x)=q_1f_1(x)-f_2(x)\,\!
f_1(x)=q_2f_2(x)-f_3(x)\,\!
...
...
...
f_{r-1}(x)=q_rf_r(x)\,\!

(Esto es, básicamente, el algoritmo de Euclides)
Para todo número real que no sea una raíz de f(x)\,, sea v(a)\, el número de variaciones en el signo de la sucesión numérica

f(a),f_1(a),f_2(a),...,f_r(a)\,\!

en la que se omiten todos los ceros. Si b\, y c\, son números cualesquiera (b<c)\,, para los cuales f(x)\, no se anula, entonces el número de raíces distintas en el intervalo [b,c]\,(las raíces múltiples se cuentan sólo una vez) es igual a v(b)-v(c)\,


Fracciones racionales.




Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$, dondeP(x) y Q(x) son polinomios. 
Ejemplos de fracciones racionales son las siguientes: 
$\displaystyle {\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}+4},\;\frac{3x+5}{x^{2}-3x+2},\;\frac{6x^{2}+7x-5}{2x-3}}$ 
Una fracción es propia, si el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denominador. Por ejemplo: 
$\displaystyle {\frac{3x+1}{x^{2}-5x+5},\; \frac{2x}{x^{2}+3},\;\frac{3x^{2}+1}{x^{3}-1}}$ 
Hasta el momento hemos determinado integrales de la forma $\displaystyle {\int \frac{\alpha}{(x-a)^{n}}\;dx}$ que da como resultado $\displaystyle {\alpha\;\frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} + C}$ cuando $n\neq 1$ y $\alpha\;ln\;\vert x-a\vert + C$ si $n = 1$ 
Además también se puede determinar integrales del tipo $\displaystyle {\int \frac{mx+b}{x^{2}+bx+c}\;dx}$ donde$b^{2}-4ac<0,$ es decir $x^{2}+bx+c$ no es factorizable en $I\!\!R$
(Para este tipo de integral ver "Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas"). 
Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de expresiones del tipo $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}.}$ La idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en una suma de fracciones racionales más simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas:
Teorema 1
  Si M(x) y N(x) son polinomios, entonces $\displaystyle {\int \frac {M(x)}{N(x)} = L(x) + \frac{R(x)}{N(x)},}$ en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el grado de R(x) es menor que el de N(x)
 Ejemplo: 
$\displaystyle {\frac {5x^{3}+7x^{2}+x-1}{x^{2}+1} = 5x+7 - \frac{4x+6}{x^{2}+1}}$

Teorema 2 
Si M(x) y N(x) son polinomios tales que el grado de M(x) es menor que el de N(x),entonces $\displaystyle {\frac{M(x)}{N(x)}}$ se puede representar como una suma S(x) de expresiones de la forma: $\displaystyle {\frac {A}{ax+b},\; \frac{B}{(ax+b)^{n}},\; \frac{Cx + D}{ax^{2}+bx+c},\;\frac{Cx + D}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}$ 

Descomposición de fracciones parciales.

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Ecuaciones de tercer y cuarto grado.


















El desarrollo de este tema est´a tomado del libro Introducci´on al Algebra ´ , de S. Xamb´o, F. Delgado y C. Fuertes, Ed. Complutense, Madrid, 1993. Vamos a estudiar ahora la ecuaci´on de tercer grado. Suponemos ahora que f(X) = X3 + a1X2 + a2X + a3 ∈ ◗[X]. A todos los efectos, el resolver f(X) = 0 equivale a hacer lo mismo para la ecuaci´on que resulta de sustituir X por X + a1 3 en f(X). Esta sustituci´on tiene la ventaja de que elimina el t´ermino en X2 , luego se puede suponer, de entrada, que f(X) = X3 + pX + q. La sustituci´on anterior se llama de Tchirnhausen. Estudimeos pues las soluciones de f(X) = X3 + pX + q = 0. (1) Podemos suponer que p y q son distintos de 0 (si p = 0, las soluciones de (1) son las ra´ıces c´ubicas de −q; si q = 0 las soluciones son 0 y las ra´ıces cuadradas de −p). Supongamos que α es una soluci´on de (1). Hagamos la sustituci´on α = u+v. Obtenemos: u 3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0. Si tomamos u, v de manera que 3uv + p = 0, i.e. u, v ser´ıan las ra´ıces de la ecuaci´on cuadr´atica X2 − αX − p 3 = 0, obtenemos: u 3 + v 3 = −q. Puesto que u 3 v 3 = − p 3 27 tenemos que u 3 , v3 son las soluciones de la ecuaci´on cuadr´atica: X2 + qX − p 3 27 = 0. (2) As´ı pues para encontrar una soluci´on de (1) tomamos una soluci´on β de (2), tomamos u una ra´ız c´ubica de β y ponemos v = − p 3u . Entonces v 3 es la otra soluci´on de (2) y α = u + v es soluci´on de (1). Simb´olicamente, una soluci´on de (1) es α = 3 s − q 2 + r q 2 4 + p 3 27 + 3 s − q 2 − r q 2 4 + p 3 27 1 debido a que las soluciones de (2) son − q 2 ± r q 2 4 + p 3 27 . Si ω 6= 1 es una ra´ız c´ubica de 1, u1 = u, u2 = ωu, u3 = ω 2u son las tres ra´ıces c´ubicas de s0. Pongamos vi = − p 3ui de manera que v1 = v, v2 = ω 2v, v3 = ωv. Entonces las ra´ıces de (1) son: αi = ui + vi , i = 1, 2, 3.


La ecuaci´on de cuarto grado: m´etodo de Ferrari Mediante una transformaci´on de Tchirnhausen, podemos centrarnos en el caso en que nuestra ecuaci´on de cuarto grado sea de la forma f(X) = X4 + pX2 + qX + r = 0. (3) En el caso en que r = 0, nuestra ecuaci´on se reduce a una ecuaci´on de grado 3. Si q = 0, se trata de una ecuaci´on bicuadr´atica. Podemos pues suponer r, q 6= 0. Consideremos una variable auxiliar u y escribamos f(X) = (X2 + p 2 + u) 2 − 2uX2 − qX + u 2 + pu − r + p 2 4 . Para que el polinomio entre corchetes, que notaremos g(X), sea un cuadrado ha de verificarse que q 2 − 8u u 2 + pu − r + p 2 4 = 0. (4) Ahora bien, (4) es una ecuaci´on de tercer grado y sabemos pues resolverla mediante radicales. Sea u0 una ra´ız de (4). Entonces q 4u0 es una ra´ız doble de g(X) y se tiene f(X) = X2 + p 2 + u0 2 − 2u0 X − q 4u0 2 de donde las ra´ıces de f(X) son las ra´ıces de los siguientes polinomios de grado 2: X2 + √ 2u0X + p 2 + u0 − p 2 √ 2u0 X2 − √ 2u0X + p 2 + u0 + p 2 √ 2u0 . 2






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