álgebra superior 2

ALGEBRA SUPERIOR II

Introducción

Es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera mas formal, espacio vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas adentro y fuera de las matemáticas, como el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería etc.

1. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

Definicion:

Numero entero = Ƶ

Ƶ pertence (-∞,+∞)

Ƶ{----,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,------}

Anillo:------->(+,x,>,<)----> cuando se cumplen estos criterios entonces se cumple este anillo

1.1   Propiedades básicas de las operaciones en Z.
1.- la suma de dos enteros es conmutativa:
si a,b,Є   Ƶ------>a+b=b+a
ejemplo: 5+4=9 ó 4+5=9
2.- la suma de dos enteros es asociativa:
si a,b y c Є Ƶ-----> (a+b)+c=a+(b+c)
ejemplo: 3(4+5)=(3+4)+5
3+9=7+5
12=12
3.- Ǝ en  Ƶ un elemento neutro para la suma, el 0.
si a Є Ƶ
a+0=0+a=a
ejemplo: 5+0=0+5=5
4.- para cada "a" Є a Ƶ su perteneciente es su inverso aditivo que es "-a".
a+(-a)=(-a)+a=0
Ejemplo: (3+4)5=3(5)+4(5)
( 7)5=15+20
35=35
5.-El producto de un numero es “CONMUTATIVO” si a, b, Î $\mathbb{Z}$ ® ab=ba

a*b=b*a

a(b)=(b)a

6.-El producto en Ƶ también es “ASOCIATIVO” si

a, b, c Î Ƶ ® (a*b)*c= a*(b*c)

(3*4)*5= 3*(4*5)

(12) 5 = 3 (20)

60 = 60

3 7.-$ en Ƶ un “ELEMENTO NEUTRO” para la multiplicación es 1

Si a Î Ƶ ® a*1 = 1*a= a

3*1= (1*3) =3

4 8.-En Ƶ “EL PRODUCTO DISTRIBUYE” a la suma de a, b, c Î Ƶ ® a* (b+c)= a*b+ac

(a+b)*c= a*c+bc

3(4+5) = 3(4)+3(5)

3(9) = 12+15

27 = 27

(3+4)5 = 3(5)+4(5)

(7)5 = 15+20

35 = 35

“RECONOCE QUE PROPIEDADES SE APLICA EN CADA PASO DEL DESPEJE”

	OPERACIÓN	PROPIEDADES
	5X+3=3X-2
1)	5X+3+(-3)=3X-2(-3)	INVERSO ADITIVO
2)	5X+(3-3)=3X+(-5)	ASOCIATIVA PARA LA SUMA
3)	5X+0=3X+(-5)	INVERSO ADITIVO/CONMUTATIVA PARA LA SUMA
4)	5X=3X-5	ELEMENTO NEUTRO
5)	5(1/5)X=(3X+5)1/5	INVERSO MULTIPLICATIVO
6)	5(1/5)X=3X(1/5)+5(1/5)	ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACION/DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO SUMA
7)	1X=X3(1/5)+(51/5)	INVERSO PARA LA MULTIPLICACION/CONMUTATIVA PARA LA SUMA
8)	X=X(31/5)+(51/5)	NEUTRO MULTIPLICATIVO/ASOCIATIVA PARA LA MULTIPLICACION
9)	X=X(3/5)+1	CONMUTATIVA PARA LA MULTUPLICACION/INVERSO
10)	X=3/5x+1	CONMUTATIVA PARA LA MULTIPLICACION

Hay conjuntos que se tienen 2 operaciones que emplean las propiedades antes mencionadas estos conjuntos con dichas operaciones, forman un anillo conmutativo.

Por lo tanto un conjunto Ƶ con operaciones de +, * forman un anillo.

+	a	b
a	a	b
b	b	a

a+b=b a+b=b+a

b+a=a

a+a=a

a+b=b

En este caso de relación decimos que a=0

0+a=a

a+0=a

Para la propiedad asociativa:

a+(a+a)=aa, a, a (a+a)+a=a+a=a

a+(a+b)=a+b=ba, a, b (a+a)+b=a+b=b

a+(b+a)=a+b=ba, b, a (a+b)+a=b+a=b

(a+b)+b=b+b=aa, b, b a+(b+b)=a+a=a

1.2 Propiedades de anillo de los enteros

PROPIEDADES DE ANILLO DE LOS ENTEROS

LEY DE LA CANCELACION:

Si a, b, c ϵ Ƶ → a+b = a+c→ b=c

a+b = a+c

para a Ǝ un (-a)

(-a)+a=0

(-a)+(a+b)=(-a)+(a+c)

(-a+a)+b=(-a+a)+c

0+b = 0+c

b =c

Si a, b, c ϵ en Ƶ a+c = b+c → a=b

a+c = b+c

(a+c)-c = (b+c)-c

a+0 = b+0

a = b

Si a, b ϵ Ƶ a+b = a → b=0

a+b = a

(-a)+a+b = a-a

(-a+a)+b = (a-a)

0+b = 0

b = 0

angulo a ϵ Ƶ, se tiene que 0*a =0

0+0= 0

0*a = 0

(0+0)=0

0ₐ+0ₐ =0

0+0=0

El inverso aditivo del inverso aditivo de un número “a” es “a”

-(-a) = a

(-a)+a = 0

-(-a)+(-a) = 0

Por la propiedad conmutativa:

a+(-a) = 0

-(-a)+(-a)+a = a+(-a)+a

-(-a)+(-a+a) = a+(-a+a)

-(-a)+0 = a+0

-(-a) = a

Si a, b ϵ $\mathbb{Z}$ → (-a) b = -(ab) (-a) (-b) = ab

(-a) b + ab

(-a+a) b

0b=0

ab+(-ab) = 0

(-a)b+ab = ab+(ab)

(-a)b+ab = -ab+ab

(-a)b+ab+(-ab) = -ab+ab+(-ab)

(-a)b+(-ab)+ab = -ab+(-ab)+ab

(-a)b+(-ab+ab) = -ab+(-ab+ab)

(-a)b+0 = -ab+0

(-a)b = -ab

(-a)b+(-a)(-b)

(-b+b)(a)

0*(-a) = 0 por tanto (-a)b+(-a)(-b) = 0

(-a)b+ab = 0

(-a)b+(-a)(-b) = (-a)b+ab por la ley de cancelación.

(-1)a = -a Si a ϵ Ƶ

(-1)(-1) = 1

· Si a, b, ϵ Ƶ, la diferencia a –b es el entero

a-b = a+(-b)

Si a, b, c ϵ Ƶ → a(b-c) = ab-ac

a(b+(-0)) = ab+a(-a) = ab+a(-a) = ab+(-ac) = ab-ac

· -(a+b) = -a-b

(-1)(a+b)

(-1)a+(-1)b

-a+(-b)

-a –b

· Si a, b, c ϵ Ƶ a+b = c → a = c-b

(a+b)+(-b)=c+(-b)

A+cb+(-b) = c-b

a+0 = c-b

a = c-b

Si a, b ≠ 0 → su producto ab ≠ 0 en el anillo conmutativo

C = [0, 1, 2, 3]

Se constituye que

2 ≠ 0 2*2 = 0

Por tanto a los elementos a, b cuyo producto es cero se les llama divisiones de cero así pues, en Ƶ no hay divisores de cero ≠ 0.

1.3 Dominios enteros.

DOMINIOS ENTEROS

Si A es un anillo conmutativo con 1 en el cual se cumple el axionar (o propiedad) se dirá que A es un DOMINIO ENTERO por lo tanto es un dominio entero.

1) En un dominio entero vale la LEY DE LA CANCELACION la multiplicación es decir si a, b, c ϵ Ƶ a ≠ 0 → ab= ac = a=c.

En el anillo de los números naturales en un número natural:

Ƶ =Ƶ

1.4 El orden en Z.

En el anillo de los numeros enteros es el orden

Ƶ {-Ƶ ,[0],+Ƶ }

N={1,2,3,4,5}

N={nlnЄ[1,+∞]}

N={nln>,1}

Propiedades:

* La suma de dos números naturales en un numero natural.

1+2=3

5+7=12

8+15=23

n1+n2=n3

* El producto de dos numeros naturales es un numero natural.

5(3)=15

10(3)=30

14(11)=154

n1(n2)=n3

* Si "a" es un numero entero se cunple una y solamente una de las tres condiciones siguientes:

a) "a " es un numero natural

"a" Є N

b) a=0

c) "-a" es un numero natural

1.5 Unidades.

Inducción

En los números naturales vale la siguiente propiedad:

-Principio de inducción: Sea M un subconjunto de N+ se cumplan los siguientes condiciones:
1.- 1 Є M
2.- Si n Є M, luego n+1 Є M

-------->M=N

Si un conjunto M de numeros naturales contiene al 1 contiene n+1 cada vez que contenga a "n", entonces M es el conjunto de todos los N.

"Principio del buen orden". En N se cumple otra propiedad semejante al principio de inducción.

Definición: Si A es un subconjunto no vacío de N----->A tiene un elemento que es menor que todos los demás elementos de A.

* EL principio de induccion-----> el buen orden

supongamos que A no tiene ningun elemento menor que todos los de mas de A.

----> constituyamos una B con todos los N b

+ b<a ұ a Є A

Como ningún elemento es menor que si mismo B está contenido en Aʿ

1,2,3....b,b+1= B

1) 1 Є B

Por lo tanto 1Ɇ A, ya que en A habria un elemento, el 1, menor que todos los elemntos de A.

2. DIVISIBILIDAD

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es multiplo de a», finalmente que a es factor de b, b submúltiplo de a.¹ Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores positivos se denominan números primos Los que admiten más de dos divisores positivos se llaman numero compuestos.

1.1 Definiciones.

La palabra divisibilidad refiere a la cualidad de divisible, es decir, aquello divisible es lo que admite división. En este sentido, la palabra normalmente resulta empleada a instancias de por ejemplo los ambientes de un inmueble, porque generalmente a aquellos ambientes grandes que admiten posibilidad de división para así poder generar un ambiente o espacio adicional se los denomina en el lenguaje corriente como ambientes divisibles. El departamento que fuimos a ver presenta un solo ambiente que es divisible.

Desde Definicion ABC: http://www.definicionabc.com/ciencia/divisibilidad.php#ixzz3VQ5efLk9

1.2 Propiedades elementales de la divisibilidad

Página 110

1º Si un número “n” divide a varios otros números,

divide también a la suma o a la diferencia de

dichos números.

2º Si un número “n” no divide exactamente a otros
dos (A y B), dividirá exactamente a la diferencia
de ellos (A – B) si y solamente si los residuos (r1
y r2) que resultan de dividir cada número entre el
número “n” son iguales

3º Si un número “n” divide exactamente a otro
número “A”, también divide a todo múltiplo de
éste.

4º Si un número “A” es divisible por otro “n” lo es
también por los factores de éste.

5º En una división inexacta, si un número “n” divide
al dividendo “A” y al divisor “d”, también divide
al residuo “r”.

1.3 El algoritmo de la división.

En esta lección estableceremos una manera efectiva de enseñar el algoritmo de la división, es decir describiremos los procedimientos que deben ser ejecutados para resolver la división entre dos números. En lugar de suministrar la secuencia completa de instrucciones de una sola vez, explicaremos el algoritmo de la división por etapa, con el objetivo de que el estudiante se familiarice de manera gradual con los diferentes pasos.

* Definición.

Dados enteros a, b con b

0 existen enteros q y r tales que
a = b q + r y 0

|b|

Al número a se le llama dividendo.
Al número b se le llama divisor.
Al número q se le llama cociente.
Al número r se le llama residuo.

En el caso particular que a y b sean enteros positivos, se trata de hallar el número de veces que el dividendo contiene al divisor. Este número se llama cociente, y lo que queda se llama residuo.

Ejemplo 1.

Si queremos hallar el resultado de dividir 19 entre 5 tenemos: 19=5x3+4, es decir, que el cociente es 3 y el residuo 4. Se puede observar que el residuo 4 es mayor que 0 y menor que 5 que es el divisor.

Ejemplo 2.

Si queremos hallar el resultado de dividir 23 entre 7 tenemos: 23=7x3+2, lo que quiere decir que el cociente es 3 y el residuo es 2.

Cuando el residuo es cero, se dice que la división es exacta y en este caso se cumple que el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Si la división es exacta, se dice que el divisor b divide al dividendo a, y esto se simboliza de la manera siguiente b|a. Lo anterior motiva la siguiente definición.

1.4 El máximo común divisor.

El conjunto de divisores es finito por lo tanto dados dos numeros enteros a y b , el conjunto de divisores comunes a y b, es tambien un conjunto finito, ya que es la intersecion del conjunto de divisores del conjunto "b".
La representacion del m.c.d de a y b: (a,b)

ejemplo: conjunto de divisores de 24 y 18.

24={+-1,+-2,+-3,+-4,+-6,+-8,+-12,+-24}

18={+-1,+-2,+-3,+-6,+-9,+-18}

por lo tanto (24,18)=6

1.5 Soluciones enteras.

1.6 El algoritmo de Euclides.

DEFINICIONES DEL ALGORITMO DE EUCLIDES Y ECUACION DIOFANTICA
ALGORITMO DE EUCLIDES
El algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo común divisor (MCD).Fue originalmente escrito por Euclides en su obra de elementos. El algoritmo de Euclides extendido en una ligera modificación que permita además expresar al máximo común divisor como una combinación lineal
ECUACION DIOFANTICA
El termino ecuaciones diofanticas se usan para designar una ecuación en una o más incógnitas que va a ser resuelta en los enteros.
La ecuación diofantica más simple es la ecuación diofantica lineal en 2 incógnitas ax+by=c, donde ay b son enteros dados, no ambos cero.
Ej: la ecuación diofantica 3x+6y=18 tienen infinitas soluciones enteras. Algunas de estas son:
X=4 y=1
X=-6 y=6

X=10 y=-2

Sea a y b 2 numeros enteros que supondremos positivos y tales no sean multiplos de"b".
Se puede aplicar en forma iterada el algoritmo de la divicion:
a=bq+r1 0<r1 <b
b=r1 q1+r2 0<r2<r1
r1=r2 q2+r3 0<r3<r2
.
.
.
rn-2=rn1 qn-1+rn 0<rn<rn-1
rn-1=rn qn
è r=0

ya que 0<rn<rn-1 ç <rr<r1<b
1.-Si a y b son enteros positivos y b no divide a a ==> el ultimo residuo diferente a 0 en el algoritmo de Euclides es el medio de a y b con la nitacion anterior
rn=(a,b)
==> Si a=bq + r,==>(a,b)=(b,r)
(60,42)
60=42(1)+18
42=18(2)+6
18=6(3)
(60,42)=6

1.7 Factorización única.

FACTORIZACION UNICA
El teorema fundamental de la aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos.
El máximo común divisor de 2 números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los 2 números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales serán el MCD. Por ejemplo para calcular el MCD de 48 y 60 obtenemos la factorización de factores primos de las factorizaciones de 40 y 60.
48/2 60/2
24/2 30/2
12/2 15/3
6/2 5/5
3/3 1
1

El MCD son los factores comunes con su menos exponente, esto es:

MDC(48,60) 22 3=12

1.8 Congruencias.

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros a\,\textstyle\text{y}\displaystyle\,b tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural m\, \ne\, 0, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

a \equiv b \pmod m
que se expresa diciendo que a\, es congruente con b\, módulo m\,. Las siguientes expresiones son equivalentes:

a\, es congruente con b\, módulo m\,
a\equiv b\pmod m
El resto de a\, entre m\, es el resto de b\, entre m\,
a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m
m\, divide exactamente a la diferencia de a\, y b\,
m\mid a-b
a\, se puede escribir como la suma de b\, y un múltiplo de m\,
\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p\, y cada entero a\, no divisible por p\, tenemos la congruencia:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por x \equiv 4\pmod{11} y x\equiv 7 \pmod{11}, es decir x\, puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k+4\, y 11k+7\,. Contrariamente la congruencia x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

3. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES.

1.1.1 números irracionales.

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para siempre sin repetirse.

Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es

3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),

¡no porque esté loco!

Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.

Así que la raíz de 2 es un número irracional.

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3	1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99	9,9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números irracionales

Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

1.1 Los números racionales.

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

1.2 Definiciones.

Ejemplos de números racionales

Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo

Aunque también podría ser expresado de esta manera:

5/7

Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:

3=31

Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:

155=3

También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:

−6=−61

0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:

2499

1.3 Estructura de campo ordenado.

1.1. Axiomas de Campo

El conjunto de los n´umeros reales R resulta ser la uni´on de los n´umeros

racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n´umeros reales x, y se

definen las operaciones binarias de suma: x+y, y multiplicaci´on: x · y. Dicho

par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es,

AXIOMA 1: PROPIEDAD CONMUTATIVA.

x + y = y + x

x · y = y · x

AXIOMA 2: PROPIEDAD ASOCIATIVA.

(x + y) + z = x + (y + z)

(x · y) · z = x · (y · z)

AXIOMA 3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.

x · (y + z) = x · y + x · z

AXIOMA 4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.

x + 0 = x

x · 1 = x

AXIOMA 5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO.

x + (−x) = 0

AXIOMA 6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO.

x · x

−1 = 1, x ̸= 0

1.2. Teoremas de Campo

Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales

de la Aritm´etica con las que est´a familiarizado el lector por sus estudios

de Algebra Elemental. Las m´as importantes de ellas se recogen a continuaci´on

como teoremas. En todos estos teoremas las letras: a, b, c, d, representan

n´umeros reales cualesquiera.

Teorema 1. Ley de Simplificaci´on para la suma.

a + b = a + c ⇔ b = c

Teorema 2. Posibilidad de la sustracci´on. Dados a y b existe uno y s´olo

un x tal que a+x = b. Este x se designa por b−a. En particular, 0−a

se escribe −a y se denomina el negativo de a.

Teorema 3. b − a = b + (−a).

Teorema 4. −(−a) = a.

Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c.

Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0.

Teorema 7. Ley de simplificaci´on para la multiplicaci´on. Si a · b = a · c

y a ̸= 0, entonces b = c.

Teorema 8. Posibilidad de la divisi´on. Dados a y b, con a ̸= 0, existe

uno y s´olo x tal que a · x = b. El n´umero x se designa por b/a ´o b

, y se

denomina cociente de b y a. En particular, 1/a se escribe tambi´en a

−1

y se denomina rec´ıproco de a.

Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b/a = b · a

−1

Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a

−1

)

−1 = a.

Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 ´o b = 0.

Teorema 12. (−a) · b = −(a · b), (−a) · (−b) = a · b.

2. R: Campo Ordenado

2.1. Axiomas de Orden en R

Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N´umeros Reales

Positivos, y denotado por R

+, que satisface las siguientes propiedades:

1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM´IA. Para cada n´umero real a s´olo

una de las siguientes proposiciones es verdadera:

a ∈ R

a = 0

−a ∈ R

2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA.

Si a, b ∈ R

+ entonces a + b ∈ R

3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO.

Si a, b ∈ R

+ entonces a · b ∈ R

2.2. Relaci´on de Orden en R

1. DEFINICION 1: el conjunto de los ´ N´umeros Reales Negativos se define

como

−

:= {a ∈ R| − a ∈ R

2. DEFINICION 2: sean ´ a, b ∈ R n´umeros reales arbitrarios. Se dice que

a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R

3. DEFINICION 3: sean ´ a, b ∈ R n´umeros reales arbitrarios. Se dice que

a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a.

4. La aplicaci´on de las definiciones anteriores permite aseverar que:

a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R

+ ⇔ −a ∈ R

+ ⇔ a ∈ R

−

o sea,

− = {a ∈ R : a < 0}.

5. La aplicaci´on de las definiciones anteriores permite aseverar que:

a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R

+ ⇔ a ∈ R

o sea

+ = {a ∈ R : a > 0}.

6. De los anteriores notamos que: R = R

+ ∪ R

− ∪ {0}.

7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan

Desigualdades.

2.3. Teoremas de Orden

1. Para cada par de n´umeros reales; a y b, es verdadera una y s´olo una de

las siguientes proposiciones: a < b, a = b, ´o, a > b.

2. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ b < c ⇒ a < c.

3. ∀a, b, c ∈ R : a < b ⇒ a + c < b + c.

4. ∀a, b, c, d ∈ R : a < b ∧ c < d ⇒ a + c < b + d.

5. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ c > 0 ⇒ ac < bc.

6. ∀a, b, c ∈ R : a < b ∧ c < 0 ⇒ ac > bc.

7. ∀a, b, c, d ∈ R

+ : a < b ∧ c < d ⇒ ac < bd.

8. ∀a ∈ R : a ̸= 0 ⇒ a

2 > 0.

9. ∀a ∈ R : a > 0 ⇒ 1

a > 0.

1.4 Los enteros como racionales.

1.5 Los números reales.

Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

1.6 El orden en R.